Calcul avec des puissances

Nous avons par exemple : .

En regroupant les 3, on voit que : .
On pourrait aussi écrire , , , , ou ...

Si x, a et b sont des nombres, on a toujours :

De même on a aussi:

En effet, avec une simplification de fraction, on a par exemple

Autre remarque : .

Quels que soient les nombres x, a et b, on a toujours:

Enfin voyons une dernière propriété.

Le produit de deux nombres élevés à une même puissance est égal à la puissance du produit de ces deux nombres. En effet :

d'où la formule

.

Il est important de connaitre les 4 formules encadrées en rouge.

Dans les opérations d’addition et de soustraction, il faut impérativement utiliser les valeurs avec les mêmes multiples ou sous-multiples.

Lors des opérations de multiplications, les puissances de 10 s'additionnent ; elles se soustraient pour les divisions :

10⁹ x 10⁶ / 10³ = 10^(9+6-3) = 10¹²

La puissance change de signe lorsqu'elle passe en dessous ou au dessus du trait de fraction :

1 / 10³ = 10^-3 et 1 / 10^-6 = 10⁶. On rappelle que 10⁰ = 1.

Le signe « ^ », qui signifie « puissance », permet de remplacer la police de caractère « puissance » (petits caractères surélevés) quand elle n’est pas disponible. Ainsi :

10^-6 s’écrira 10^-6 et 10¹² s’écrira 10^12.

Attention à la racine carrée :

Seules les puissances de 10 paires (10⁶, 10¹², 10^-6, 10^-12 pour ne citer que les multiples et sous-multiples) sont utilisables car elles sont divisées par 2. Enfin, les puissances de 10 sont multipliées par 2 lors de l'élévation au carré : (10^-3)² = 10(^-3x2) = 10^-6.